Abtasttheorem und Aliasing

Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem

Um ein kontinuierliches Signal ohne Informationsverlust digital abtasten und später exakt rekonstruieren zu können, muss die Abtastfrequenz (f_abt) mindestens doppelt so hoch sein wie die höchste im Signal vorkommende Frequenz (f_max oder hier f_sig).

Die Frequenz f_nyq = f_abt / 2 wird als Nyquist-Frequenz bezeichnet.

Aliasing

Wird das Abtasttheorem verletzt (f_abt ≤ 2 ⋅ f_sig), tritt Aliasing auf. Das bedeutet, dass die Abtastpunkte nicht mehr eindeutig dem Originalsignal zugeordnet werden können. Bei der Rekonstruktion entsteht ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz, der sogenannten Alias-Frequenz (f_alias).

Die Alias-Frequenz lässt sich berechnen als:

wobei `k` eine ganze Zahl ist, die so gewählt wird, dass `f<sub>alias</sub> ≤ f<sub>abt</sub> / 2` ist. Vereinfacht gesagt, wird das Originalsignal an der Nyquist-Frequenz "gespiegelt".

Was man in der Simulation beobachten kann:

• Theorem erfüllt (f_abt > 2 ⋅ f_sig): Stelle die Abtastfrequenz deutlich höher als das Doppelte der Signalfrequenz ein. Die roten Abtastpunkte folgen dem blauen Originalsignal gut. Das rekonstruierte orange Signal (falls sichtbar) überlagert das blaue Signal. Kein Aliasing.
• Grenzfall (f_abt = 2 ⋅ f_sig): Stelle die Abtastfrequenz genau auf das Doppelte der Signalfrequenz ein. Die Abtastung erfolgt immer an den gleichen Phasenlagen (z.B. Nulldurchgängen, wenn Phasenverschiebung 0). Eine Rekonstruktion ist theoretisch möglich, aber empfindlich gegenüber Phasenverschiebungen. Manchmal ist das rekonstruierte Signal Null oder hat falsche Amplitude.
• Theorem verletzt (f_abt < 2 ⋅ f_sig): Unterschreite die doppelte Signalfrequenz mit der Abtastfrequenz. Die roten Punkte scheinen nun zu einem langsameren Signal zu gehören. Das orange Alias-Signal weicht deutlich vom blauen Originalsignal ab und hat eine niedrigere Frequenz. Aliasing tritt auf!
• Alias-Frequenz beobachten: Variiere f_abt unterhalb von 2⋅f_sig. Beobachte, wie sich die Frequenz des orangen Alias-Signals ändert und vergleiche sie mit dem berechneten Wert f_alias.
• Checkboxen:
  • "Alias-Signal anzeigen": Blendet die orange Kurve ein/aus.
  • "Abtastpunkte verbinden": Zeichnet Linien zwischen den roten Punkten, um die Rekonstruktion (auch bei Aliasing) zu verdeutlichen.