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Fehlerfortpflanzung

Wenn eine Größe `z` aus mehreren fehlerbehafteten Messgrößen (z.B. `x` und `y`) berechnet wird, pflanzen sich die Unsicherheiten (`Δx`, `Δy`) auf das Ergebnis `z` fort. Die resultierende Unsicherheit `Δz` hängt von der Rechenoperation und den einzelnen Unsicherheiten ab.

Gaußsche Fehlerfortpflanzung (Analytisch)

Für unabhängige Messgrößen `x` und `y` lässt sich die Unsicherheit `Δz` (Standardabweichung `σ_z`) von `z = f(x, y)` näherungsweise berechnen als:

Daraus ergeben sich für die Grundrechenarten (vereinfacht):

• Addition/Subtraktion (z = x ± y): Die absoluten Unsicherheiten addieren sich quadratisch.
  Δz = \(\sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 }\)
• Multiplikation/Division (z = x * y, z = x / y): Die relativen Unsicherheiten (`Δx/x`, `Δy/y`) addieren sich quadratisch.
  Δz = \(|z| \cdot \sqrt{ \left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{y}\right)^2 }\)    (für x, y ≠ 0)

Monte Carlo Simulation (Numerisch)

Eine alternative Methode ist die Monte-Carlo-Simulation:

1. Simuliere sehr viele "Messwerte" für `x` und `y` basierend auf ihren Mittelwerten und Unsicherheiten (z.B. aus Normalverteilungen).
2. Berechne für jedes simulierte Wertepaar (`x_i`, `y_i`) das Ergebnis `z_i = f(x_i, y_i)`.
3. Analysiere die Verteilung aller berechneten `z_i`-Werte. Das Histogramm visualisiert diese Verteilung.
4. Der Mittelwert der `z_i` sollte dem Nennwert `z` entsprechen.
5. Die Standardabweichung der `z_i` ist ein Maß für die simulierte Unsicherheit `σ_z` und sollte der analytischen Unsicherheit `Δz` nahekommen.

Was man in der Simulation beobachten kann:

• Vergleich Analytisch vs. Simuliert: Wie gut stimmt die simulierte Standardabweichung (`σ_z`) mit der berechneten analytischen Unsicherheit (`Δz`) überein? Wird die Übereinstimmung besser mit höherer Simulationsanzahl?
• Addition/Subtraktion: Ändere `Δx` und `Δy`. Die Breite des Histogramms (Unsicherheit `Δz`) hängt von den *absoluten* Werten `Δx` und `Δy` ab.
• Multiplikation/Division: Ändere `Δx` und `Δy`, aber auch `x` und `y`. Die *relative* Unsicherheit `Δz/z` hängt von den *relativen* Unsicherheiten `Δx/x` und `Δy/y` ab. Beobachte, wie sich das Histogramm verändert. Eine große Unsicherheit bei einem kleinen Nenner (`y` bei Division) kann zu einer sehr breiten Verteilung führen!
• Einfluss der Unsicherheiten: Welche Eingangsgröße (`x` oder `y`) hat den größeren Einfluss auf `Δz`? Erhöhe `Δx` und `Δy` einzeln und beobachte die Änderung im Histogramm und bei `Δz`.
• Funktion der Anzahl der Simulationen: Eine höhere Anzahl von Simulationen führt zu einem glatteren Histogramm und meist zu einer besseren Übereinstimmung zwischen `σ_z` und `Δz`.