Konfidenzintervall für den Mittelwert

Das Konfidenzintervall (KI) für den Mittelwert

Oft kennen wir den wahren Mittelwert (µ) einer Grundgesamtheit nicht (z.B. die exakte durchschnittliche Länge aller produzierten Schrauben). Wir ziehen eine Stichprobe (Größe n) und berechnen deren Mittelwert (x̄).

Das Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, in dem der wahre Mittelwert µ mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau, z.B. 95%) liegt.

Berechnung (bei bekannter Standardabweichung σ)

Wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) bekannt ist (oder n sehr groß ist), berechnet sich das KI für µ als:

Dabei ist:

• x̄: Der Mittelwert der Stichprobe
• E: Die Fehlermarge (Margin of Error)
• z: Der kritische z-Wert, abhängig vom Konfidenzniveau (z.B. 1.96 für 95%)
• σ: Die Standardabweichung der Grundgesamtheit
• n: Die Größe der Stichprobe
• \( \frac{σ}{\sqrt{n}} \): Der Standardfehler des Mittelwerts (SEM)

Hinweis: Ist σ unbekannt und n klein (< ca. 30), verwendet man die Stichproben-Standardabweichung (s) und den t-Wert statt z (t-Verteilung). Der Einfachheit halber verwenden wir hier σ und z.

Interpretation

Ein 95%-Konfidenzintervall bedeutet: Wenn wir sehr viele Stichproben ziehen und für jede ein 95%-KI berechnen würden, würden etwa 95% dieser Intervalle den wahren Mittelwert µ enthalten.

Es bedeutet **nicht**, dass eine 95%ige Wahrscheinlichkeit besteht, dass der *wahre* Wert µ in *diesem einen* berechneten Intervall liegt (der wahre Wert ist fix, das Intervall ist zufällig).

Was man in der Simulation beobachten kann:

• Neue Stichprobe ziehen: Klicke wiederholt auf den Button. Der Stichprobenmittelwert x̄ und damit auch das Konfidenzintervall ändern sich bei jeder Stichprobe. Der wahre Mittelwert µ (grüne Linie) bleibt fix.
• KI-Überdeckung: Beobachte die Anzeige "Wahrer Mittelwert µ enthalten?". Bei einem 95%-Konfidenzniveau sollte das Intervall in etwa 95 von 100 Fällen den grünen Strich (µ) überdecken.
• Stichprobengröße n ändern: Erhöhe n. Der Standardfehler (SEM) und die Fehlermarge (E) werden kleiner, das Konfidenzintervall wird schmaler. Eine größere Stichprobe führt zu einer präziseren Schätzung.
• Konfidenzniveau ändern: Erhöhe das Konfidenzniveau (z.B. auf 99%). Der z-Wert wird größer, die Fehlermarge E wird größer, das Konfidenzintervall wird breiter. Eine höhere Sicherheit erfordert ein größeres Intervall.
• Vergleich x̄ und s mit µ und σ: Wie gut schätzen der Stichprobenmittelwert (x̄) und die Stichprobenstandardabweichung (s) die wahren Werte (µ, σ)? Die Schätzung wird mit größerem n meist besser.