Sensor-Linearisierung am Beispiel eines NTC-Thermistors

NTC-Parameter & Eingabe

NTC-Konstanten:
R0: 10 kΩ (@ T0) T0: 25 °C B-Wert: 3950 K
-20 °C25.0 °C100 °C

Sensorwert & Rückrechnung

Aktuelle Temp. Tist:- °C
NTC Widerstand RNTC:- Ω
Berechnete Temp. Tcalc:- °C
Abweichung (Tcalc - Tist):- °C

NTC Kennlinie (Temperatur vs. Widerstand)

Die blaue Kurve zeigt den nichtlinearen Zusammenhang zwischen Widerstand und Temperatur.
Der rote Punkt markiert den aktuellen Arbeitspunkt (RNTC, Tist).

Nichtlineare Sensoren & Linearisierung

Viele Sensoren weisen eine nichtlineare Kennlinie auf, d.h., der Zusammenhang zwischen der physikalischen Messgröße (z.B. Temperatur) und dem elektrischen Ausgangssignal (z.B. Widerstand) ist keine Gerade.

Ein Beispiel ist der NTC-Thermistor (Heißleiter), dessen Widerstand bei steigender Temperatur stark (und nichtlinear) sinkt.

NTC-Verhalten (vereinfacht: B-Parameter-Modell)

Der Widerstand RT eines NTC bei einer Temperatur T (in Kelvin!) kann näherungsweise beschrieben werden durch:

RT = R0 ⋅ exp [ B ⋅ ( \(\frac{1}{T}\) - \(\frac{1}{T_0}\) ) ]

Dabei ist:

  • R0: Nennwiderstand bei Nenntemperatur T0 (z.B. 10 kΩ bei 25°C)
  • T0: Nenntemperatur in Kelvin (z.B. 25°C = 298.15 K)
  • T: Aktuelle Temperatur in Kelvin
  • B: B-Wert (Materialkonstante in Kelvin, z.B. 3950 K)

Man beachte die Umrechnung: T [K] = T [°C] + 273.15

"Linearisierung" durch Rückrechnung

Um aus dem gemessenen Widerstand RT die Temperatur T zu bestimmen, muss die Formel umgestellt werden. Dies ist die "Linearisierung" im Sinne der Ermittlung der physikalischen Größe aus dem nichtlinearen Sensorwert.

\( \frac{1}{T} \) = \( \frac{1}{T_0} \) + \( \frac{1}{B} \) ⋅ ln( \( \frac{R_T}{R_0} \) )

Daraus folgt für die Temperatur T (in Kelvin):

T [K] = \( \frac{1}{\frac{1}{T_0} + \frac{1}{B} \cdot \ln(\frac{R_T}{R_0})} \)

Anschließend wird das Ergebnis wieder in °C umgerechnet: T [°C] = T [K] - 273.15

Was man in der Simulation beobachten kann:

  • Kennlinie: Die blaue Kurve im Plot zeigt den stark nichtlinearen Abfall des Widerstands bei steigender Temperatur.
  • Temperatur ändern: Bewege den Temperatur-Slider. Beobachte, wie sich der Widerstand RNTC ändert (höhere Temperatur -> kleinerer Widerstand). Der rote Punkt wandert entlang der Kennlinie.
  • Rückrechnung: Vergleiche die "Aktuelle Temp. Tist" (Eingabe) mit der "Berechneten Temp. Tcalc". Da wir hier die exakte Umkehrformel verwenden, sollte die Abweichung (nahezu) Null sein.
  • Sensitivität: Beobachte, wie stark sich der Widerstand bei niedrigen Temperaturen im Vergleich zu hohen Temperaturen ändert (die Kurve ist bei niedrigen Temperaturen steiler). Das bedeutet, der Sensor ist bei niedrigen Temperaturen "empfindlicher" bezüglich Widerstandsänderungen.

Praxisrelevanz: In realen Anwendungen wird oft nicht die exakte Umkehrformel verwendet (die das aufwendige Berechnen von `ln` erfordert). Stattdessen werden Lookup-Tabellen (Widerstandswerte zu Temperaturwerten) oder Polynom-Approximationen verwendet, um die Temperatur aus dem gemessenen Widerstand (oft über einen Spannungsteiler gemessen) mit geringerem Rechenaufwand zu bestimmen. Diese Approximationen führen dann zu kleinen Abweichungen (Linearisierungsfehlern).

Das hier gezeigte B-Parameter-Modell ist selbst eine Vereinfachung. Genauere Modelle wie die Steinhart-Hart-Gleichung verwenden mehr Parameter.