Passive RC-Filter (Tiefpass/Hochpass)

Passive RC-Filter erster Ordnung

RC-Filter sind einfache Schaltungen aus einem Widerstand (R) und einem Kondensator (C), die Frequenzen selektiv dämpfen oder durchlassen.

• Tiefpass (LP): Lässt tiefe Frequenzen weitgehend unverändert passieren und dämpft hohe Frequenzen. Die Ausgangsspannung wird am Kondensator abgegriffen.
• Hochpass (HP): Lässt hohe Frequenzen weitgehend passieren und dämpft tiefe Frequenzen (inkl. Gleichspannung). Die Ausgangsspannung wird am Widerstand abgegriffen.

Grenzfrequenz (f_c)

Die Grenzfrequenz ist die Frequenz, bei der die Ausgangsleistung auf die Hälfte der Eingangsleistung abgefallen ist. Dies entspricht einem Spannungsabfall auf \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\) der Eingangsspannung (-3 dB). Die Phasenverschiebung beträgt bei f_c ±45°.

Die Zeitkonstante τ = R ⋅ C beschreibt das Lade-/Entladeverhalten.

Übertragungsfunktion H(jω)

Das Verhalten im Frequenzbereich wird durch die komplexe Übertragungsfunktion H(jω) beschrieben (mit ω = 2πf):

• Tiefpass: \( H(j\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{1 + j\omega RC} \)
• Hochpass: \( H(j\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC} \)

Daraus ergeben sich Betrag (Amplitudenverstärkung) |H(jω)| und Phase φ(ω):

• Tiefpass: \( |H| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \quad | \quad \phi = -\arctan(\omega RC) \)
• Hochpass: \( |H| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \quad | \quad \phi = 90^\circ - \arctan(\omega RC) \)

Was man in der Simulation beobachten kann:

• Filtertyp wechseln: Beobachte die unterschiedlichen Schaltbilder und die spiegelverkehrten Bode-Diagramme für LP und HP.
• Zeitbereich:
  • Vergleiche Amplitude und Phase des Ausgangssignals (orange) mit dem Eingangssignal (blau).
  • Wie ändert sich das Ausgangssignal, wenn f_sig weit unterhalb, nahe bei oder weit oberhalb von f_c liegt?
• Bode-Diagramm (Frequenzbereich):
  • Der obere Graph zeigt den Amplitudengang (Verstärkung in dB oder linear), der untere den Phasengang (in Grad).
  • Der rote Punkt markiert die aktuelle Signalfrequenz f_sig.
  • Die gestrichelte Linie zeigt die Grenzfrequenz f_c. Bei f_c sollte die Verstärkung ca. 0.707 (-3 dB) und die Phase ±45° betragen.
  • Verändere R und C: Beobachte, wie sich die Grenzfrequenz f_c verschiebt.
  • Verändere f_sig: Beobachte, wie der rote Punkt entlang der Kurven wandert und wie sich die berechneten Werte für Amplitude und Phase ändern.
• Tiefpassverhalten: Hohe Frequenzen (f_sig >> f_c) werden stark gedämpft (Amplitude klein), die Phasenverschiebung nähert sich -90°.
• Hochpassverhalten: Tiefe Frequenzen (f_sig << f_c) werden stark gedämpft, die Phasenverschiebung nähert sich +90°.