Wurzelortskurve Stabilisierungs-Explorer (Einfaches System)

Systemübersicht

Dieses Werkzeug demonstriert, wie eine Proportionalregelung (Verstärkung Kp) ein inhärent instabiles System zweiter Ordnung mithilfe der Wurzelortskurvenmethode stabilisieren kann.

Das System des offenen Kreises G(s) = 1 / ((s - a)(s + b)) hat eine instabile Polstelle s=a (wobei a > 0) in der rechten Halbebene (RHP). Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises lautet 1 + Kp*G(s) = 0, was sich zu s² + (b - a)s + (Kp - ab) = 0 vereinfacht.

• Steuerung: Verwenden Sie den Schieberegler, um die Proportionalverstärkung Kp anzupassen.
• Pol-Nullstellen-Plan: Zeigt die festen Pole des offenen Kreises (blaue 'X'). Die aktuellen Positionen der Pole des *geschlossenen* Kreises für das ausgewählte Kp sind mit roten Quadraten ('■') markiert.
• Wurzelortskurven-Diagramm: Zeigt die Pfade (Orte), die von den Polen des geschlossenen Kreises durchlaufen werden, während Kp von 0 bis unendlich variiert. Die Orte beginnen an den Polen des offenen Kreises (a und -b) und gehen entlang vertikaler Asymptoten, die bei (a-b)/2 zentriert sind, ins Unendliche. Die aktuellen Pole des geschlossenen Kreises ('■') sind überlagert.
• Sprungantwort: Zeigt den Ausgang y(t) des *geschlossenen* Kreises `T(s) = Kp*G(s) / (1 + Kp*G(s))` für das aktuelle Kp bei einem Einheitssprung am Eingang. Beobachten Sie, wie die Antwort von instabil (unbegrenzt wachsend) zu stabil (gegen einen Endwert konvergierend) wechselt, wenn sich die Pole des geschlossenen Kreises in die linke Halbebene (LHP) bewegen.
• Stabilität: Der geschlossene Kreis ist stabil, wenn **alle** Pole des geschlossenen Kreises ('■') in der LHP liegen (negativen Realteil haben, Re{s} < 0). Für dieses System wird Stabilität erreicht, wenn Kp > ab (um den konstanten Term positiv zu machen) UND b > a (um sicherzustellen, dass der Realteil komplexer Pole negativ ist).

Experimentieren: Beginnen Sie mit Kp=0. Die Pole des geschlossenen Kreises befinden sich an den Orten des offenen Kreises (a und -b), und das System ist instabil. Erhöhen Sie Kp. Die Pole bewegen sich auf der reellen Achse aufeinander zu, treffen sich bei s=(a-b)/2 und brechen dann vertikal auseinander. Wenn b > a (wie in diesem Beispiel mit a=1, b=3), liegt der Verzweigungspunkt in der LHP. Finden Sie den Wert von Kp, bei dem sich die Pole zum ersten Mal treffen (`Kp=ab+(b-a)²/4 = 4` in diesem Beispiel) und das minimale Kp, das für Stabilität erforderlich ist (`Kp > ab = 3`). Beobachten Sie, wie die Sprungantwort stabil wird.